Theorem ecelqsdm 4305

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set.

Hypotheses

Ref	Expression
ecelqsdm.1	|- B e. V
ecelqsdm.2	|- dom R = A

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	|- ([B]R e. (A/.R) -> B e. A)

Proof of Theorem ecelqsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm.2	. . . 4 |- dom R = A
2	1	0nelqs 4304	. . 3 |- -. (/) e. (A/.R)
3		ecelqsdm.1	. . . . . . 7 |- B e. V
4	3	ecdmn0 4286	. . . . . 6 |- (B e. dom R <-> -. [B]R = (/))
5	1	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (B e. dom R <-> B e. A)
6	4, 5	bitr3 175	. . . . 5 |- (-. [B]R = (/) <-> B e. A)
7	6	con1bii 220	. . . 4 |- (-. B e. A <-> [B]R = (/))
8		eleq1 1537	. . . 4 |- ([B]R = (/) -> ([B]R e. (A/.R) <-> (/) e. (A/.R)))
9	7, 8	sylbi 199	. . 3 |- (-. B e. A -> ([B]R e. (A/.R) <-> (/) e. (A/.R)))
10	2, 9	mtbiri 719	. 2 |- (-. B e. A -> -. [B]R e. (A/.R))
11	10	a3i 74	1 |- ([B]R e. (A/.R) -> B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (/)c0 2283  dom cdm 3176  [cec 4265  /.cqs 4266

This theorem is referenced by:  brecop2 4313  th3qlem1 4320

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-ec 4269  df-qs 4272

Copyright terms: Public domain