Theorem ecdmn0 4280

Description: An equivalence class is not empty in its domain.

Hypothesis

Ref	Expression
ecdmn0.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ecdmn0	|- (A e. dom R <-> -. [A]R = (/))

Proof of Theorem ecdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
2		ecdmn0.1	. . . 4 |- A e. V
3	1, 2	elec 4279	. . 3 |- (x e. [A]R <-> ARx)
4	3	exbii 1051	. 2 |- (E.x x e. [A]R <-> E.x ARx)
5		n0 2289	. 2 |- (-. [A]R = (/) <-> E.x x e. [A]R)
6	2	eldm 3307	. 2 |- (A e. dom R <-> E.x ARx)
7	4, 5, 6	3bitr4r 184	1 |- (A e. dom R <-> -. [A]R = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  [cec 4259

This theorem is referenced by:  0nelqs 4298  ecelqsdm 4299  eceqopreq 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-ec 4263

Copyright terms: Public domain