Theorem domtri 4838

Description: Trichotomy law for dominance and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice.

Assertion

Ref	Expression
domtri	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Proof of Theorem domtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom 4836	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> A ~<_ B))
2		cardsdom 4837	. . . . 5 |- ((B e. D /\ A e. C) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
3	2	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` B) e. (card` A) <-> B ~< A))
4	3	negbid 611	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (-. (card` B) e. (card` A) <-> -. B ~< A))
5		cardon 4827	. . . 4 |- (card` A) e. On
6		cardon 4827	. . . 4 |- (card` B) e. On
7		ontri1 2981	. . . 4 |- (((card` A) e. On /\ (card` B) e. On) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A)))
8	5, 6, 7	mp2an 697	. . 3 |- ((card` A) (_ (card` B) <-> -. (card` B) e. (card` A))
9	4, 8	syl5bb 532	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((card` A) (_ (card` B) <-> -. B ~< A))
10	1, 9	bitr3d 530	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B <-> -. B ~< A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  ` cfv 3182   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366  cardccrd 4813

This theorem is referenced by:  entri 4839  sdomel 4847  cardsdomel 4852  ondomcard 4857  cardmin 4860  alephsucpw 4870  alephord 4875  alephsucdom 4880  cardaleph 4885  dominf 4904  cdainf 4937  aleph1re 7551  infxpidmlem12 7563  infdif 7568  infdif2 7569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816

Copyright terms: Public domain