Theorem dominf 4884

Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
dominf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
dominf	|- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Proof of Theorem dominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dominf.1	. 2 |- A e. V
2		neeq1 1587	. . . 4 |- (x = A -> (x =/= (/) <-> A =/= (/)))
3		id 59	. . . . 5 |- (x = A -> x = A)
4		unieq 2505	. . . . 5 |- (x = A -> U.x = U.A)
5	3, 4	sseq12d 2086	. . . 4 |- (x = A -> (x (_ U.x <-> A (_ U.A))
6	2, 5	anbi12d 627	. . 3 |- (x = A -> ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) <-> (A =/= (/) /\ A (_ U.A)))
7		breq2 2618	. . 3 |- (x = A -> (om ~<_ x <-> om ~<_ A))
8	6, 7	imbi12d 625	. 2 |- (x = A -> (((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x) <-> ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)))
9		eqid 1473	. . . 4 |- {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}} = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
10		eqid 1473	. . . 4 |- (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om) = (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om)
11	9, 10, 1, 1	inf3lem6 4598	. . 3 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> (rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x)
12		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
13	12	pwex 2740	. . . 4 |- P~x e. V
14		f1dom2g 4384	. . . 4 |- (P~x e. V -> ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x))
15	13, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}, (/)) |` om):om-1-1->P~x -> om ~<_ P~x)
16		pwfi 4551	. . . . . . 7 |- (E.n e. om x ~~ n <-> E.n e. om P~x ~~ n)
17	16	biimp 151	. . . . . 6 |- (E.n e. om x ~~ n -> E.n e. om P~x ~~ n)
18		isfinite 4614	. . . . . 6 |- (x ~< om <-> E.n e. om x ~~ n)
19		isfinite 4614	. . . . . 6 |- (P~x ~< om <-> E.n e. om P~x ~~ n)
20	17, 18, 19	3imtr4 219	. . . . 5 |- (x ~< om -> P~x ~< om)
21	20	con3i 98	. . . 4 |- (-. P~x ~< om -> -. x ~< om)
22		omex 4607	. . . . 5 |- om e. V
23		domtri 4818	. . . . 5 |- ((om e. V /\ P~x e. V) -> (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om))
24	22, 13, 23	mp2an 696	. . . 4 |- (om ~<_ P~x <-> -. P~x ~< om)
25		domtri 4818	. . . . 5 |- ((om e. V /\ x e. V) -> (om ~<_ x <-> -. x ~< om))
26	22, 12, 25	mp2an 696	. . . 4 |- (om ~<_ x <-> -. x ~< om)
27	21, 24, 26	3imtr4 219	. . 3 |- (om ~<_ P~x -> om ~<_ x)
28	11, 15, 27	3syl 20	. 2 |- ((x =/= (/) /\ x (_ U.x) -> om ~<_ x)
29	1, 8, 28	vtocl 1838	1 |- ((A =/= (/) /\ A (_ U.A) -> om ~<_ A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  E.wrex 1643  {crab 1645  Vcvv 1807   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  P~cpw 2397  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661  omcom 3126   |` cres 3167  -1-1->wf1 3174  reccrdg 3922   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  axgroth3 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-2o 4124  df-oadd 4125  df-er 4251  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796

Copyright terms: Public domain