Theorem domfi 4522

Description: A set dominated by a finite set is finite.

Assertion

Ref	Expression
domfi	|- ((E.x e. om A ~~ x /\ B ~<_ A) -> E.x e. om B ~~ x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem domfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4360	. . . . . . 7 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3203	. . . . . 6 |- (A ~~ x -> A e. V)
3	2	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. om -> (A ~~ x -> A e. V))
4	3	r19.23aiv 1740	. . . 4 |- (E.x e. om A ~~ x -> A e. V)
5		domeng 4368	. . . 4 |- (A e. V -> (B ~<_ A <-> E.y(B ~~ y /\ y (_ A)))
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (B ~<_ A <-> E.y(B ~~ y /\ y (_ A)))
7		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
8		enen1 4463	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. V /\ B ~~ y) -> (B ~~ x <-> y ~~ x))
9	7, 8	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (B ~~ y -> (B ~~ x <-> y ~~ x))
10	9	rexbidv 1661	. . . . . . . 8 |- (B ~~ y -> (E.x e. om B ~~ x <-> E.x e. om y ~~ x))
11		ssfi 4521	. . . . . . . 8 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ y (_ A) -> E.x e. om y ~~ x)
12	10, 11	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (B ~~ y -> ((E.x e. om A ~~ x /\ y (_ A) -> E.x e. om B ~~ x))
13	12	exp3a 375	. . . . . 6 |- (B ~~ y -> (E.x e. om A ~~ x -> (y (_ A -> E.x e. om B ~~ x)))
14	13	com12 11	. . . . 5 |- (E.x e. om A ~~ x -> (B ~~ y -> (y (_ A -> E.x e. om B ~~ x)))
15	14	imp3a 361	. . . 4 |- (E.x e. om A ~~ x -> ((B ~~ y /\ y (_ A) -> E.x e. om B ~~ x))
16	15	19.23adv 1212	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (E.y(B ~~ y /\ y (_ A) -> E.x e. om B ~~ x))
17	6, 16	sylbid 203	. 2 |- (E.x e. om A ~~ x -> (B ~<_ A -> E.x e. om B ~~ x))
18	17	imp 350	1 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ B ~<_ A) -> E.x e. om B ~~ x)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  fofi 4548  iunfi 4549  pwfilem 4550  pwfi 4551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain