Theorem domen2 4486

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
domen2	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A <-> C ~<_ B))

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 4427	. . . 4 |- ((C ~<_ A /\ A ~~ B) -> C ~<_ B)
2	1	expcom 374	. . 3 |- (A ~~ B -> (C ~<_ A -> C ~<_ B))
3	2	adantl 390	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A -> C ~<_ B))
4		domentr 4427	. . . 4 |- ((C ~<_ B /\ B ~~ A) -> C ~<_ A)
5	4	ex 373	. . 3 |- (C ~<_ B -> (B ~~ A -> C ~<_ A))
6		ensymg 4417	. . . 4 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
7	6	imp 350	. . 3 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> B ~~ A)
8	5, 7	syl5com 52	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ B -> C ~<_ A))
9	3, 8	impbid 518	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~<_ A <-> C ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960   class class class wbr 2624   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371

This theorem is referenced by:  finsucdom 4532  finsucdomOLD 4533  sucxpdom 4857  aleph1 4882  cdadom1 4945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain