Theorem dmun 3317

Description: The domain of a union is the union of domains. Exercise 56(a) of [Enderton] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
dmun	|- dom ( A u. B) = (dom A u. dom B)

Proof of Theorem dmun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2173	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
2	1	exbii 1051	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
3		19.43 1088	. . . 4 |- (E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
4	2, 3	bitr 173	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
5		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
6	5	eldm2 3308	. . 3 |- (x e. dom ( A u. B) <-> E.y<.x, y>. e. (A u. B))
7		elun 2173	. . . 4 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (x e. dom A \/ x e. dom B))
8	5	eldm2 3308	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	eldm2 3308	. . . . 5 |- (x e. dom B <-> E.y<.x, y>. e. B)
10	8, 9	orbi12i 257	. . . 4 |- ((x e. dom A \/ x e. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
11	7, 10	bitr 173	. . 3 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
12	4, 6, 11	3bitr4 183	. 2 |- (x e. dom ( A u. B) <-> x e. (dom A u. dom B))
13	12	eqriv 1474	1 |- dom ( A u. B) = (dom A u. dom B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   u. cun 2045  <.cop 2411  dom cdm 3170

This theorem is referenced by:  rnun 3457  fnun 3594  tfrlem10 3920  sbthlem5 4451  fodomr 4483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-un 2050  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-dm 3188

Copyright terms: Public domain