Theorem dmsn0 3313

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom {(/)} = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnz 2785	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. = (/)
2		opex 2772	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
3	2	elsnc 2421	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {(/)} <-> <.x, y>. = (/))
4	1, 3	mtbir 192	. . . . 5 |- -. <.x, y>. e. {(/)}
5	4	nex 1097	. . . 4 |- -. E.y<.x, y>. e. {(/)}
6		eqid 1468	. . . . 5 |- x = x
7	6	negbi 87	. . . 4 |- -. -. x = x
8	5, 7	2false 717	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. {(/)} <-> -. x = x)
9	8	abbii 1567	. 2 |- {x | E.y<.x, y>. e. {(/)}} = {x | -. x = x}
10		dfdm3 3291	. 2 |- dom {(/)} = {x | E.y<.x, y>. e. {(/)}}
11		dfnul2 2272	. 2 |- (/) = {x | -. x = x}
12	9, 10, 11	3eqtr4 1497	1 |- dom {(/)} = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456  (/)c0 2270  {csn 2399  <.cop 2401  dom cdm 3160

This theorem is referenced by:  1st0 4067  2nd0 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-dm 3178

Copyright terms: Public domain