Theorem dmres 3380

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
dmres	|- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)

Proof of Theorem dmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
2	1	opelres 3372	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (<.x, y>. e. A /\ x e. B))
3	2	exbii 1051	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B))
4		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
5	4	eldm2 3308	. . . 4 |- (x e. dom ( A |` B) <-> E.y<.x, y>. e. (A |` B))
6	4	eldm2 3308	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	anbi1i 481	. . . . 5 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ x e. B))
8		19.41v 1305	. . . . 5 |- (E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ x e. B))
9	7, 8	bitr4 176	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ x e. B))
10	3, 5, 9	3bitr4r 184	. . 3 |- ((x e. dom A /\ x e. B) <-> x e. dom ( A |` B))
11	10	ineqri 2209	. 2 |- (dom A i^i B) = dom ( A |` B)
12		incom 2208	. 2 |- (dom A i^i B) = (B i^i dom A)
13	11, 12	eqtr3 1497	1 |- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   i^i cin 2046  <.cop 2411  dom cdm 3170   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  ssdmres 3381  dmresexg 3382  imadisj 3422  ndmima 3434  dmresv 3490  resdmres 3497  funimacnv 3571  fnresdisj 3597  nfvres 3748  ssimaex 3768  funfvima 3852  tz7.44-2 3929  tz7.44-3 3930  frfnom 3951  tz7.48-2 3957  sbthlem5 4451  sbthlem7 4453  imadomg 4806  dmaddpi 5018  dmmulpi 5019  metssba 7809  metres 7823  cncfmet 7905  remetba 7909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-dm 3188  df-res 3190

Copyright terms: Public domain