Theorem dmoprabss 4003

Description: The domain of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 4002	. 2 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} = {<.x, y>. | E.z((x e. A /\ y e. B) /\ ph)}
2		19.42v 1308	. . . 4 |- (E.z((x e. A /\ y e. B) /\ ph) <-> ((x e. A /\ y e. B) /\ E.zph))
3	2	opabbii 2671	. . 3 |- {<.x, y>. | E.z((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} = {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ E.zph)}
4		opabssxp 3234	. . 3 |- {<.x, y>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ E.zph)} (_ (A X. B)
5	3, 4	eqsstr 2091	. 2 |- {<.x, y>. | E.z((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)
6	1, 5	eqsstr 2091	1 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ph)} (_ (A X. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  {copab 2666   X. cxp 3168  dom cdm 3170  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  oprabex 4019  oprabex2g 4020  dmaddpq 5059  dmmulpq 5061  dmaddsr 5194  dmmulsr 5195  axaddopr 5265  axmulopr 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-dm 3188  df-oprab 3966

Copyright terms: Public domain