Theorem dmoprab 4002

Description: The domain of an operation class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.x, y>. | E.zph}

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem dmoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 3991	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
2	1	dmeqi 3312	. 2 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = dom {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
3		dmopab 3320	. 2 |- dom {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)}
4		exrot3 1099	. . . . 5 |- (E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.z(w = <.x, y>. /\ ph))
5		19.42v 1308	. . . . . 6 |- (E.z(w = <.x, y>. /\ ph) <-> (w = <.x, y>. /\ E.zph))
6	5	2exbii 1052	. . . . 5 |- (E.xE.yE.z(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph))
7	4, 6	bitr 173	. . . 4 |- (E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph))
8	7	abbii 1575	. . 3 |- {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {w | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph)}
9		df-opab 2667	. . 3 |- {<.x, y>. | E.zph} = {w | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ E.zph)}
10	8, 9	eqtr4 1498	. 2 |- {w | E.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph)} = {<.x, y>. | E.zph}
11	2, 3, 10	3eqtr 1499	1 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ph} = {<.x, y>. | E.zph}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  {copab 2666  dom cdm 3170  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  dmoprabss 4003  reldmoprab 4005  fnoprabg 4012  1st2val 4095  2nd2val 4096  genpdm 5105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-dm 3188  df-oprab 3966

Copyright terms: Public domain