Theorem dmmulpi 5031

Description: Domain of multiplication on positive integers.

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = (N. X. N.)

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 3386	. . 3 |- dom ( .o |` (N. X. N.)) = ((N. X. N.) i^i dom .o )
2		fnom 4155	. . . . 5 |- .o Fn (On X. On)
3		fndm 3593	. . . . 5 |- ( .o Fn (On X. On) -> dom .o = (On X. On))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- dom .o = (On X. On)
5	4	ineq2i 2217	. . 3 |- ((N. X. N.) i^i dom .o ) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
6	1, 5	eqtr 1498	. 2 |- dom ( .o |` (N. X. N.)) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
7		df-mi 5014	. . 3 |- .N = ( .o |` (N. X. N.))
8	7	dmeqi 3318	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` (N. X. N.))
9		df-ni 5012	. . . . . . 7 |- N. = (om \ {(/)})
10		difss 2170	. . . . . . 7 |- (om \ {(/)}) (_ om
11	9, 10	eqsstr 2094	. . . . . 6 |- N. (_ om
12		omsson 3142	. . . . . 6 |- om (_ On
13	11, 12	sstri 2076	. . . . 5 |- N. (_ On
14		anidm 434	. . . . 5 |- ((N. (_ On /\ N. (_ On) <-> N. (_ On)
15	13, 14	mpbir 190	. . . 4 |- (N. (_ On /\ N. (_ On)
16		ssxp 3262	. . . 4 |- ((N. (_ On /\ N. (_ On) -> (N. X. N.) (_ (On X. On))
17	15, 16	ax-mp 7	. . 3 |- (N. X. N.) (_ (On X. On)
18		dfss 2057	. . 3 |- ((N. X. N.) (_ (On X. On) <-> (N. X. N.) = ((N. X. N.) i^i (On X. On)))
19	17, 18	mpbi 189	. 2 |- (N. X. N.) = ((N. X. N.) i^i (On X. On))
20	6, 8, 19	3eqtr4 1508	1 |- dom .N = (N. X. N.)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   \ cdif 2047   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283  {csn 2413  Oncon0 2954  omcom 3137   X. cxp 3174  dom cdm 3176   |` cres 3178   Fn wfn 3183   .o comu 4137  N.cnpi 4984   .N cmi 4986

This theorem is referenced by:  mulcompi 5036  mulasspi 5037  distrpi 5038  mulcanpi 5039  ltmpi 5043  ordpipq 5068  ltsopq 5087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-omul 4142  df-ni 5012  df-mi 5014

Copyright terms: Public domain