Theorem dmin 3324

Description: The domain of an intersection belong to the intersection of domains. Theorem 6 of [Suppes] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
dmin	|- dom ( A i^i B) (_ (dom A i^i dom B)

Proof of Theorem dmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1096	. . 3 |- (E.y(<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. B) -> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.y<.x, y>. e. B))
2		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
3	2	eldm2 3314	. . . 4 |- (x e. dom ( A i^i B) <-> E.y<.x, y>. e. (A i^i B))
4		elin 2210	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A i^i B) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. B))
5	4	exbii 1053	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A i^i B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. B))
6	3, 5	bitr 173	. . 3 |- (x e. dom ( A i^i B) <-> E.y(<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. B))
7		elin 2210	. . . 4 |- (x e. (dom A i^i dom B) <-> (x e. dom A /\ x e. dom B))
8	2	eldm2 3314	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	2	eldm2 3314	. . . . 5 |- (x e. dom B <-> E.y<.x, y>. e. B)
10	8, 9	anbi12i 484	. . . 4 |- ((x e. dom A /\ x e. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.y<.x, y>. e. B))
11	7, 10	bitr 173	. . 3 |- (x e. (dom A i^i dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A /\ E.y<.x, y>. e. B))
12	1, 6, 11	3imtr4 219	. 2 |- (x e. dom ( A i^i B) -> x e. (dom A i^i dom B))
13	12	ssriv 2072	1 |- dom ( A i^i B) (_ (dom A i^i dom B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982   i^i cin 2049   (_ wss 2050  <.cop 2415  dom cdm 3176

This theorem is referenced by:  rnin 3464  mapdom2lem 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-v 1815  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-dm 3194

Copyright terms: Public domain