Theorem dmfco 3779

Description: Domains of a function composition.

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Proof of Theorem dmfco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 3315	. . . 4 |- (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.y<.A, y>. e. (F o. G)))
2		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
3		opelcog 3296	. . . . . 6 |- ((A e. dom G /\ y e. V) -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
4	2, 3	mpan2 698	. . . . 5 |- (A e. dom G -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
5	4	exbidv 1281	. . . 4 |- (A e. dom G -> (E.y<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
6	1, 5	bitrd 530	. . 3 |- (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
7	6	adantl 390	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
8		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- z e. V
9	8	funopfvb 3762	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
10		eqcom 1480	. . . . . . . 8 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
11	9, 10	syl5bb 534	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
12	11	anbi1d 619	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
13	12	exbidv 1281	. . . . 5 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
14		fvex 3738	. . . . . 6 |- (G` A) e. V
15		opeq1 2491	. . . . . . 7 |- (z = (G` A) -> <.z, y>. = <.(G` A), y>.)
16	15	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = (G` A) -> (<.z, y>. e. F <-> <.(G` A), y>. e. F))
17	14, 16	ceqsexv 1838	. . . . 5 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> <.(G` A), y>. e. F)
18	13, 17	syl5bbr 536	. . . 4 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), y>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
19	18	exbidv 1281	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.y<.(G` A), y>. e. F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
20	14	eldm2 3314	. . 3 |- ((G` A) e. dom F <-> E.y<.(G` A), y>. e. F)
21	19, 20	syl5bb 534	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) e. dom F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
22	7, 21	bitr4d 533	1 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  <.cop 2415  dom cdm 3176   o. ccom 3180  Fun wfun 3182  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  fvco 3780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain