Theorem dmdsl3t 10242

Description: Sublattice mapping for a dual-modular pair. Part of Theorem 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2.

Assertion

Ref	Expression
dmdsl3t	|- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = C)

Proof of Theorem dmdsl3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdit 10229	. . . . . 6 |- (((B e. CH /\ A e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C)) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
2	1	exp32 377	. . . . 5 |- ((B e. CH /\ A e. CH /\ C e. CH) -> (B MH* A -> (A (_ C -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))))
3	2	3com12 837	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (B MH* A -> (A (_ C -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))))
4	3	imp32 363	. . 3 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C)) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
5	4	3adantr3 808	. 2 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = (C i^i (B vH A)))
6		chjcomt 9429	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A vH B) = (B vH A))
7	6	ineq2d 2217	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (C i^i (A vH B)) = (C i^i (B vH A)))
8	7	3adant3 799	. . . 4 |- ((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) -> (C i^i (A vH B)) = (C i^i (B vH A)))
9		df-ss 2053	. . . . 5 |- (C (_ (A vH B) <-> (C i^i (A vH B)) = C)
10	9	biimp 151	. . . 4 |- (C (_ (A vH B) -> (C i^i (A vH B)) = C)
11	8, 10	sylan9req 1528	. . 3 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ C (_ (A vH B)) -> (C i^i (B vH A)) = C)
12	11	3ad2antr3 814	. 2 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> (C i^i (B vH A)) = C)
13	5, 12	eqtrd 1507	1 |- (((A e. CH /\ B e. CH /\ C e. CH) /\ (B MH* A /\ A (_ C /\ C (_ (A vH B))) -> ((C i^i B) vH A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CHcch 8798   vH chj 8802   MH* cdmd 8836

This theorem is referenced by:  mdslle1 10244  mdslj1 10246  mdslj2 10247  mdslmd1lem1 10252

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-ch 9092  df-chj 9275  df-dmd 10208

Copyright terms: Public domain