Theorem dmaddpq 5059

Description: Domain of addition on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmaddpq	|- dom +Q = (Q. X. Q.)

Proof of Theorem dmaddpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plq 5039	. . . 4 |- +Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. +pQ <.u, f>.)] ~Q ))}
2	1	dmeqi 3312	. . 3 |- dom +Q = dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. +pQ <.u, f>.)] ~Q ))}
3		dmoprabss 4003	. . 3 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. +pQ <.u, f>.)] ~Q ))} (_ (Q. X. Q.)
4	2, 3	eqsstr 2091	. 2 |- dom +Q (_ (Q. X. Q.)
5		0npq 5050	. . 3 |- -. (/) e. Q.
6		addclpq 5058	. . 3 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (x +Q y) e. Q.)
7	5, 6	oprssdm 4042	. 2 |- (Q. X. Q.) (_ dom +Q
8	4, 7	eqssi 2078	1 |- dom +Q = (Q. X. Q.)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963  {copab2 3964  [cec 4259   +pQ cplpq 4976   ~Q ceq 4978  Q.cnq 4979   +Q cplq 4981

This theorem is referenced by:  addcompq 5062  addasspq 5063  distrpq 5067  ltapq 5076  ltexpq 5080  ltexpq2 5081  nsmallpq 5083  ltbtwnpq 5084  ltaddpr 5140  ltexprlem2 5143  ltexprlem3 5144  ltexprlem4 5145  ltexprlem6 5147  ltexprlem7 5148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-plpq 5035  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039

Copyright terms: Public domain