HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem divdirt 5713
Description: Distribution of division over addition.
Assertion
Ref Expression
divdirt |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)))
Proof of Theorem divdirt
StepHypRef Expression
1 opreq1 3953 . . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + B) = (if(A e. CC, A, 0) + B))
21opreq1d 3960 . . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C))
3 opreq1 3953 . . . . . 6 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A / C) = (if(A e. CC, A, 0) / C))
43opreq1d 3960 . . . . 5 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A / C) + (B / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)))
52, 4eqeq12d 1481 . . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C))))
65imbi2d 610 . . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((C =/= 0 -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C))) <-> (C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)))))
7 opreq2 3954 . . . . . 6 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) + B) = (if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)))
87opreq1d 3960 . . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C))
9 opreq1 3953 . . . . . 6 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B / C) = (if(B e. CC, B, 0) / C))
109opreq2d 3961 . . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)))
118, 10eqeq12d 1481 . . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C))))
1211imbi2d 610 . . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + B) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (B / C))) <-> (C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)))))
13 neeq1 1582 . . . 4 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (C =/= 0 <-> if(C e. CC, C, 0) =/= 0))
14 opreq2 3954 . . . . 5 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)))
15 opreq2 3954 . . . . . 6 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) / C) = (if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)))
16 opreq2 3954 . . . . . 6 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (if(B e. CC, B, 0) / C) = (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0)))
1715, 16opreq12d 3963 . . . . 5 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))
1814, 17eqeq12d 1481 . . . 4 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0)))))
1913, 18imbi12d 624 . . 3 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((C =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / C) = ((if(A e. CC, A, 0) / C) + (if(B e. CC, B, 0) / C))) <-> (if(C e. CC, C, 0) =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))))
20 0cn 5300 . . . . 5 |- 0 e. CC
2120elimel 2384 . . . 4 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
2220elimel 2384 . . . 4 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
2320elimel 2384 . . . 4 |- if(C e. CC, C, 0) e. CC
2421, 22, 23divdirz 5712 . . 3 |- (if(C e. CC, C, 0) =/= 0 -> ((if(A e. CC, A, 0) + if(B e. CC, B, 0)) / if(C e. CC, C, 0)) = ((if(A e. CC, A, 0) / if(C e. CC, C, 0)) + (if(B e. CC, B, 0) / if(C e. CC, C, 0))))
256, 12, 19, 24dedth3h 2378 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> (C =/= 0 -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C))))
2625imp 350 1 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) /\ C =/= 0) -> ((A + B) / C) = ((A / C) + (B / C)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  ifcif 2351  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209   / cdiv 5266
This theorem is referenced by:  divsubdirt 5731  divadddivt 5740  2halvest 5986  halfaddsubt 5988  nneo 6144  zneo 6147  zneoOLD 6148  recjt 6753  geolimilem 7170  efivalt 7389  ioo2bl 7851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672
Copyright terms: Public domain