Theorem divcan5t 5737

Description: Cancellation of common factor in a ratio.

Assertion

Ref	Expression
divcan5t	|- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((C x. A) / (C x. B)) = (A / B))

Proof of Theorem divcan5t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dividt 5722	. . . 4 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> (C / C) = 1)
2	1	opreq1d 3960	. . 3 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> ((C / C) x. (A / B)) = (1 x. (A / B)))
3	2	3ad2ant3 800	. 2 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((C / C) x. (A / B)) = (1 x. (A / B)))
4		divmuldivt 5736	. . 3 |- ((((C e. CC /\ C e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)) /\ (C =/= 0 /\ B =/= 0)) -> ((C / C) x. (A / B)) = ((C x. A) / (C x. B)))
5		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> C e. CC)
6	5, 5	jca 288	. . . . . 6 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> (C e. CC /\ C e. CC))
7		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> B e. CC)
8	7	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (A e. CC /\ B e. CC))
9	6, 8	anim12i 333	. . . . 5 |- (((C e. CC /\ C =/= 0) /\ (A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0))) -> ((C e. CC /\ C e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)))
10	9	3impb 827	. . . 4 |- (((C e. CC /\ C =/= 0) /\ A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((C e. CC /\ C e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)))
11	10	3coml 838	. . 3 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((C e. CC /\ C e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)))
12		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((C e. CC /\ C =/= 0) -> C =/= 0)
13		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> B =/= 0)
14	12, 13	anim12i 333	. . . . 5 |- (((C e. CC /\ C =/= 0) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (C =/= 0 /\ B =/= 0))
15	14	ancoms 436	. . . 4 |- (((B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> (C =/= 0 /\ B =/= 0))
16	15	3adant1 795	. . 3 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> (C =/= 0 /\ B =/= 0))
17	4, 11, 16	sylanc 471	. 2 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((C / C) x. (A / B)) = ((C x. A) / (C x. B)))
18		divclt 5681	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (A / B) e. CC)
19	18	3expb 832	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (A / B) e. CC)
20		mulid2t 5389	. . . 4 |- ((A / B) e. CC -> (1 x. (A / B)) = (A / B))
21	19, 20	syl 10	. . 3 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (1 x. (A / B)) = (A / B))
22	21	3adant3 797	. 2 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> (1 x. (A / B)) = (A / B))
23	3, 17, 22	3eqtr3d 1507	1 |- ((A e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0) /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((C x. A) / (C x. B)) = (A / B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266

This theorem is referenced by:  8th4div3 5978  efaddlem22 7301  eirrlem2 7331  eirrlem3 7332  sin01bndlem3 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain