Theorem distrpqlem 5078

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpqlem.1	|- A e. V
distrpqlem.2	|- B e. V
distrpqlem.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
distrpqlem	|- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )

Proof of Theorem distrpqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrpqlem.1	. . . 4 |- A e. V
2		distrpqlem.2	. . . 4 |- B e. V
3		distrpqlem.3	. . . 4 |- C e. V
4		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
6	4, 5	mulcompi 5036	. . . 4 |- (x .N y) = (y .N x)
7		visset 1816	. . . . 5 |- z e. V
8	5, 7	mulasspi 5037	. . . 4 |- ((x .N y) .N z) = (x .N (y .N z))
9	1, 2, 3, 6, 8	caopr32 4066	. . 3 |- ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)
10		mulclpi 5033	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
11		mulclpi 5033	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) e. N.)
12	10, 11	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.))
13		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ A e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (B e. N. /\ C e. N.))
14	13	an4s 510	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> (B e. N. /\ C e. N.))
15	12, 14	jca 288	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)))
16	15	3impdi 882	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)))
17		enqbreq 5056	. . . 4 |- ((((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. <-> ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)))
18	16, 17	syl 10	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. <-> ((A .N B) .N C) = ((A .N C) .N B)))
19	9, 18	mpbiri 194	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> <.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>.)
20		opex 2788	. . 3 |- <.(A .N B), (A .N C)>. e. V
21		opex 2788	. . 3 |- <.B, C>. e. V
22		enqer 5058	. . 3 |- Er ~Q
23	20, 21, 22	erthi 4287	. 2 |- (<.(A .N B), (A .N C)>. ~Q <.B, C>. -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )
24	19, 23	syl 10	1 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> [<.(A .N B), (A .N C)>.] ~Q = [<.B, C>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  [cec 4265  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990

This theorem is referenced by:  distrpq 5079  1qec 5080  mulidpq 5081  ltexpq 5092  halfpq 5094  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-ni 5012  df-mi 5014  df-enq 5049

Copyright terms: Public domain