Theorem distrlem3pr 5141

Description: Lemma for distributive law for positive reals.

Assertion

Ref	Expression
distrlem3pr	|- (((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))) -> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z

Proof of Theorem distrlem3pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an6 904	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) <-> ((A e. P. /\ x e. A) /\ (B e. P. /\ y e. B) /\ (C e. P. /\ z e. C)))
2		elprpq 5107	. . . 4 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
3		elprpq 5107	. . . 4 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> y e. Q.)
4		elprpq 5107	. . . 4 |- ((C e. P. /\ z e. C) -> z e. Q.)
5	2, 3, 4	3anim123i 823	. . 3 |- (((A e. P. /\ x e. A) /\ (B e. P. /\ y e. B) /\ (C e. P. /\ z e. C)) -> (x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.))
6	1, 5	sylbi 199	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) -> (x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.))
7		3anass 781	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) <-> (A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)))
8		3anass 781	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B /\ z e. C) <-> (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C)))
9	7, 8	anbi12i 484	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. P. /\ C e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B /\ z e. C)) <-> ((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))))
10		3anass 781	. 2 |- ((x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q.) <-> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))
11	6, 9, 10	3imtr3 218	1 |- (((A e. P. /\ (B e. P. /\ C e. P.)) /\ (x e. A /\ (y e. B /\ z e. C))) -> (x e. Q. /\ (y e. Q. /\ z e. Q.)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  Q.cnq 4991  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  distrlem4pr 5142

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098

Copyright terms: Public domain