Theorem distps 7654

Description: The discrete topology on a set A expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
indistop.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
distps	|- <.A, P~A>. e. TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unipw 2756	. . 3 |- U.P~A = A
2	1	opeq1i 2490	. 2 |- <.U.P~A, P~A>. = <.A, P~A>.
3		indistop.1	. . . 4 |- A e. V
4	3	distop 7649	. . 3 |- P~A e. Top
5		eltopsp 7604	. . 3 |- (<.U.P~A, P~A>. e. TopSp <-> P~A e. Top)
6	4, 5	mpbir 190	. 2 |- <.U.P~A, P~A>. e. TopSp
7	2, 6	eqeltrr 1545	1 |- <.A, P~A>. e. TopSp

Syntax hints:   e. wcel 958  Vcvv 1811  P~cpw 2401  <.cop 2411  U.cuni 2503  Topctop 7588  TopSpctps 7589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-top 7592  df-topsp 7593

Copyright terms: Public domain