Theorem discrlem 6659

Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is non-positive. The antecedent 0 <_ A is redundant but simplifies the proof.

Hypotheses

Ref	Expression
discrlem.1	|- A e. RR
discrlem.2	|- B e. RR
discrlem.3	|- C e. RR
discrlem.4	|- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)

Assertion

Ref	Expression
discrlem	|- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C

Proof of Theorem discrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5440	. . 3 |- 0 e. RR
2		discrlem.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2	leloe 5575	. 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4		discrlem.2	. . . 4 |- B e. RR
5		discrlem.3	. . . 4 |- C e. RR
6		eqid 1475	. . . 4 |- -u(B / (2 x. A)) = -u(B / (2 x. A))
7		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (x^2) = (-u(B / (2 x. A))^2))
8	7	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (A x. (x^2)) = (A x. (-u(B / (2 x. A))^2)))
9		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (B x. x) = (B x. -u(B / (2 x. A))))
10	8, 9	opreq12d 3978	. . . . . . 7 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))))
11	10	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C))
12	11	breq2d 2630	. . . . 5 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C)))
13		discrlem.4	. . . . 5 |- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)
14	12, 13	vtoclri 1859	. . . 4 |- (-u(B / (2 x. A)) e. RR -> 0 <_ (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C))
15	2, 4, 5, 6, 14	discrlem2 6657	. . 3 |- (0 < A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
16		eqid 1475	. . . 4 |- ((C + 1) / -uB) = ((C + 1) / -uB)
17		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (x^2) = (((C + 1) / -uB)^2))
18	17	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (A x. (x^2)) = (A x. (((C + 1) / -uB)^2)))
19		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (B x. x) = (B x. ((C + 1) / -uB)))
20	18, 19	opreq12d 3978	. . . . . . 7 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))))
21	20	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C))
22	21	breq2d 2630	. . . . 5 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C)))
23	22, 13	vtoclri 1859	. . . 4 |- (((C + 1) / -uB) e. RR -> 0 <_ (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C))
24	2, 4, 5, 16, 23	discrlem3 6658	. . 3 |- (0 = A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
25	15, 24	jaoi 341	. 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
26	3, 25	sylbi 199	1 |- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  4c4 5963  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  normlem6 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain