Theorem difex2 2867

Description: If the subtrahend of a class difference exists, then the minuend exists iff the difference exists.

Assertion

Ref	Expression
difex2	|- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Proof of Theorem difex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 2712	. 2 |- (A e. V -> (A \ B) e. V)
2		elisset 1808	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> B e. V)
3	2	anim1i 334	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ (A \ B) e. V) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
4	3	ancoms 436	. . . . . 6 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
5		unexb 2864	. . . . . 6 |- ((B e. V /\ (A \ B) e. V) <-> (B u. (A \ B)) e. V)
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. (A \ B)) e. V)
7		undif2 2331	. . . . 5 |- (B u. (A \ B)) = (B u. A)
8	6, 7	syl5eqelr 1545	. . . 4 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. A) e. V)
9		ssun2 2184	. . . . 5 |- A (_ (B u. A)
10		ssexg 2711	. . . . 5 |- ((A (_ (B u. A) /\ (B u. A) e. V) -> A e. V)
11	9, 10	mpan 693	. . . 4 |- ((B u. A) e. V -> A e. V)
12	8, 11	syl 10	. . 3 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> A e. V)
13	12	expcom 374	. 2 |- (B e. C -> ((A \ B) e. V -> A e. V))
14	1, 13	impbid2 516	1 |- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   \ cdif 2034   u. cun 2035   (_ wss 2037

This theorem is referenced by:  elpwun 2901

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-uni 2494

Copyright terms: Public domain