Theorem dftr5 2683

Description: An alternate way of defining a transitive class.

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- (Tr A <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2682	. 2 |- (Tr A <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
2		alcom 1032	. 2 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
3		impexp 347	. . . . . 6 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
4	3	albii 999	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.y(y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
5		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.y e. x (x e. A -> y e. A) <-> A.y(y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
6		r19.21v 1716	. . . . 5 |- (A.y e. x (x e. A -> y e. A) <-> (x e. A -> A.y e. x y e. A))
7	4, 5, 6	3bitr2 179	. . . 4 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> (x e. A -> A.y e. x y e. A))
8	7	albii 999	. . 3 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.x(x e. A -> A.y e. x y e. A))
9		df-ral 1649	. . 3 |- (A.x e. A A.y e. x y e. A <-> A.x(x e. A -> A.y e. x y e. A))
10	8, 9	bitr4 176	. 2 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)
11	1, 2, 10	3bitr 177	1 |- (Tr A <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  A.wral 1645  Tr wtr 2680

This theorem is referenced by:  dftr3 2684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-uni 2504  df-tr 2681

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