Theorem dfseq0 6563

Description: Alternate version of df-seq0 6534.

Assertion

Ref	Expression
dfseq0	|- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}

Distinct variable group:   f,g,h

Proof of Theorem dfseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3983	. . . . . 6 |- ((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) e. V
2		resexg 3394	. . . . . 6 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) e. V -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V
4		visset 1813	. . . . . . . 8 |- f e. V
5		visset 1813	. . . . . . . 8 |- g e. V
6	4, 5	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (f e. V /\ g e. V)
7	6	biantrur 725	. . . . . 6 |- (h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) <-> ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)))
8	7	oprabbii 3997	. . . . 5 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))}
9	3, 8	fnoprab2 4122	. . . 4 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V)
10		df-seq0 6534	. . . . 5 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)}
11		fneq1 3582	. . . . 5 |- ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} -> ( seq0 Fn (V X. V) <-> {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V)))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- ( seq0 Fn (V X. V) <-> {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)} Fn (V X. V))
13	9, 12	mpbir 190	. . 3 |- seq0 Fn (V X. V)
14		oprex 3983	. . . 4 |- (<.0, f>. seq g) e. V
15	6	biantrur 725	. . . . 5 |- (h = (<.0, f>. seq g) <-> ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (<.0, f>. seq g)))
16	15	oprabbii 3997	. . . 4 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. V /\ g e. V) /\ h = (<.0, f>. seq g))}
17	14, 16	fnoprab2 4122	. . 3 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} Fn (V X. V)
18		eqfnoprval 4016	. . 3 |- (( seq0 Fn (V X. V) /\ {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} Fn (V X. V)) -> ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} <-> ((V X. V) = (V X. V) /\ A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y))))
19	13, 17, 18	mp2an 697	. 2 |- ( seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} <-> ((V X. V) = (V X. V) /\ A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y)))
20		eqid 1475	. 2 |- (V X. V) = (V X. V)
21		oprex 3983	. . . . 5 |- (<.0, x>. seq y) e. V
22		opeq2 2488	. . . . . 6 |- (f = x -> <.0, f>. = <.0, x>.)
23	22	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (f = x -> (<.0, f>. seq g) = (<.0, x>. seq g))
24		opreq2 3969	. . . . 5 |- (g = y -> (<.0, x>. seq g) = (<.0, x>. seq y))
25		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)} = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}
26	21, 23, 24, 25	oprabval5 4029	. . . 4 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y) = (<.0, x>. seq y))
27		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
28		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
29	27, 28	seq0seqz 6542	. . . 4 |- (x seq0 y) = (<.0, x>. seq y)
30	26, 29	syl6reqr 1526	. . 3 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y))
31	30	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. V A.y e. V (x seq0 y) = (x{<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}y)
32	19, 20, 31	mpbir2an 730	1 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (<.0, f>. seq g)}

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  <.cop 2411   X. cxp 3168   |` cres 3172   Fn wfn 3177  (class class class)co 3963  {copab2 3964  0cc0 5234  1c1 5235  -ucneg 5293  NN0cn0 5297   seq1 cseq1 6307   shift cshi 6340   seq cseqz 6531   seq0 cseq0 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seqz 6533  df-seq0 6534

Copyright terms: Public domain