Theorem dfrel2 3477

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- (Rel R <-> `'`'R = R)

Proof of Theorem dfrel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3427	. . 3 |- Rel `'`'R
2		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
3		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
4	2, 3	opelcnv 3293	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. `'`'R <-> <.y, x>. e. `'R)
5	3, 2	opelcnv 3293	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. `'R <-> <.x, y>. e. R)
6	4, 5	bitr 173	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'`'R <-> <.x, y>. e. R)
7	6	gen2 981	. . . 4 |- A.xA.y(<.x, y>. e. `'`'R <-> <.x, y>. e. R)
8		eqrel 3245	. . . 4 |- ((Rel `'`'R /\ Rel R) -> (`'`'R = R <-> A.xA.y(<.x, y>. e. `'`'R <-> <.x, y>. e. R)))
9	7, 8	mpbiri 194	. . 3 |- ((Rel `'`'R /\ Rel R) -> `'`'R = R)
10	1, 9	mpan 694	. 2 |- (Rel R -> `'`'R = R)
11		releq 3238	. . 3 |- (`'`'R = R -> (Rel `'`'R <-> Rel R))
12	1, 11	mpbii 193	. 2 |- (`'`'R = R -> Rel R)
13	10, 12	impbi 157	1 |- (Rel R <-> `'`'R = R)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407  `'ccnv 3164  Rel wrel 3170

This theorem is referenced by:  cnvcnv 3478  dfrel3 3481  cnvcnvres 3486  cores2 3499  co01 3501  coi2 3503  relcnvexb 3513  funcnvres2 3562  f1cnv 3657  f1ocnvb 3693  f1ococnv1 3700  ssenen 4490  cnvhmpha 10448  cnvhmphb 10449  cnvhmph 10450  hmphsyma 10451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181

Copyright terms: Public domain