Theorem dfom2 3123

Description: An alternate definition of the set of natural numbers om. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class builder of non-limit ordinal numbers (see nlimon 3112).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	|- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
2	1	elon 2947	. . . . 5 |- (x e. On <-> Ord x)
3	2	anbi1i 480	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
4		onsssuc 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> z e. suc x))
5		ontri1 2971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z (_ x <-> -. x e. z))
6	4, 5	bitr3d 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. On /\ x e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
7	6	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. suc x <-> -. x e. z))
8		limeq 2950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (Lim y <-> Lim z))
9	8	negbid 609	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. Lim y <-> -. Lim z))
10	9	elrab 1896	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z))
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. On /\ z e. On) -> (z e. {y e. On | -. Lim y} <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 624	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. On /\ z e. On) -> ((z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
13	12	pm5.74da 584	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z)))))
14		visset 1804	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
15		limelon 3022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
16	14, 15	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> z e. On)
17	16	pm4.71ri 636	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z <-> (z e. On /\ Lim z))
18	17	imbi1i 186	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim z -> x e. z) <-> ((z e. On /\ Lim z) -> x e. z))
19		impexp 347	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. On /\ Lim z) -> x e. z) <-> (z e. On -> (Lim z -> x e. z)))
20		ibar 641	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. On -> (-. Lim z <-> (z e. On /\ -. Lim z)))
21	20	imbi2d 610	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. On -> ((-. x e. z -> -. Lim z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
22		pm4.1 164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> -. Lim z))
23	21, 22	syl5bb 530	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
24	23	pm5.74i 582	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. On -> (Lim z -> x e. z)) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
25	18, 19, 24	3bitr 177	. . . . . . . . 9 |- ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (-. x e. z -> (z e. On /\ -. Lim z))))
26	13, 25	syl6rbbr 537	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))))
27		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. suc x)
28		suceloni 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. On -> suc x e. On)
29		onelon 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc x e. On /\ z e. suc x) -> z e. On)
30	29	ex 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- (suc x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
31	28, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. On -> (z e. suc x -> z e. On))
32	31	ancrd 299	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. On -> (z e. suc x -> (z e. On /\ z e. suc x)))
33	27, 32	impbid2 516	. . . . . . . . . 10 |- (x e. On -> ((z e. On /\ z e. suc x) <-> z e. suc x))
34	33	imbi1d 611	. . . . . . . . 9 |- (x e. On -> (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
35		impexp 347	. . . . . . . . 9 |- (((z e. On /\ z e. suc x) -> z e. {y e. On | -. Lim y}) <-> (z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
36	34, 35	syl5bbr 532	. . . . . . . 8 |- (x e. On -> ((z e. On -> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
37	26, 36	bitrd 526	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((Lim z -> x e. z) <-> (z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
38	37	albidv 1273	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y})))
39		dfss2 2048	. . . . . 6 |- (suc x (_ {y e. On | -. Lim y} <-> A.z(z e. suc x -> z e. {y e. On | -. Lim y}))
40	38, 39	syl6bbr 536	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.z(Lim z -> x e. z) <-> suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
41	40	pm5.32i 643	. . . 4 |- ((x e. On /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
42	3, 41	bitr3 175	. . 3 |- ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) <-> (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y}))
43	42	abbii 1567	. 2 |- {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
44		df-om 3122	. 2 |- om = {x | (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z))}
45		df-rab 1644	. 2 |- {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}} = {x | (x e. On /\ suc x (_ {y e. On | -. Lim y})}
46	43, 44, 45	3eqtr4 1497	1 |- om = {x e. On | suc x (_ {y e. On | -. Lim y}}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  {crab 1640  Vcvv 1802   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940  omcom 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122

Copyright terms: Public domain