Theorem dflim4 3119

Description: An alternate definition of a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
dflim4	|- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem dflim4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2 3025	. 2 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A))
2		ordunisuc2 3115	. . . . 5 |- (Ord A -> (A = U.A <-> A.x e. A suc x e. A))
3	2	anbi2d 616	. . . 4 |- (Ord A -> (((/) e. A /\ A = U.A) <-> ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
4	3	pm5.32i 645	. . 3 |- ((Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
5		3anass 779	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A = U.A)))
6		3anass 779	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) <-> (Ord A /\ ((/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A)))
7	4, 5, 6	3bitr4 183	. 2 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A = U.A) <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
8	1, 7	bitr 173	1 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  (/)c0 2280  U.cuni 2503  Ord word 2947  Lim wlim 2949  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  limsuc 3120  limuni3 3123

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain