Theorem dfima2 3405

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
dfima2	|- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 3191	. 2 |- (A"B) = ran ( A |` B)
2		dfrn3 3304	. 2 |- ran ( A |` B) = {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)}
3		df-res 3190	. . . . . . 7 |- (A |` B) = (A i^i (B X. V))
4	3	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> <.x, y>. e. (A i^i (B X. V)))
5		elin 2207	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (A i^i (B X. V)) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)))
6		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ xAy) <-> (xAy /\ x e. B))
7		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
8		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
9	8	biantru 724	. . . . . . . . 9 |- (x e. B <-> (x e. B /\ y e. V))
10	8	opelxp 3214	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (B X. V) <-> (x e. B /\ y e. V))
11	9, 10	bitr4 176	. . . . . . . 8 |- (x e. B <-> <.x, y>. e. (B X. V))
12	7, 11	anbi12i 482	. . . . . . 7 |- ((xAy /\ x e. B) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)))
13	6, 12	bitr2 174	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. A /\ <.x, y>. e. (B X. V)) <-> (x e. B /\ xAy))
14	4, 5, 13	3bitr 177	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A |` B) <-> (x e. B /\ xAy))
15	14	exbii 1051	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x(x e. B /\ xAy))
16		df-rex 1650	. . . 4 |- (E.x e. B xAy <-> E.x(x e. B /\ xAy))
17	15, 16	bitr4 176	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. (A |` B) <-> E.x e. B xAy)
18	17	abbii 1575	. 2 |- {y | E.x<.x, y>. e. (A |` B)} = {y | E.x e. B xAy}
19	1, 2, 18	3eqtr 1499	1 |- (A"B) = {y | E.x e. B xAy}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811   i^i cin 2046  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  ran crn 3171   |` cres 3172  "cima 3173

This theorem is referenced by:  dfima3 3406  elimag 3407  imasng 3424  fv2 3720  dfimafn 3761  isoini 3900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191

Copyright terms: Public domain