Theorem dffun8 3541

Description: Alternate definition of a function.

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 3539	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
2		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
3		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
4	2, 3	brelrn 3344	. . . . . 6 |- (xAy -> y e. ran A)
5	4	pm4.71ri 638	. . . . 5 |- (xAy <-> (y e. ran A /\ xAy))
6	5	mobii 1405	. . . 4 |- (E*y xAy <-> E*y(y e. ran A /\ xAy))
7	6	ralbii 1667	. . 3 |- (A.x e. dom AE*y xAy <-> A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy))
8	7	anbi2i 480	. 2 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy) <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y(y e. ran A /\ xAy)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  E*wmo 1381  A.wral 1645   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  ran crn 3171  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  brdom4 4803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain