Theorem dffun4 3528

Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24.

Assertion

Ref	Expression
dffun4	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem dffun4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 3526	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)))
2		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
3		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (xAz <-> <.x, z>. e. A)
4	2, 3	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((xAy /\ xAz) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A))
5	4	imbi1i 186	. . . . 5 |- (((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> ((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
6	5	albii 999	. . . 4 |- (A.z((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
7	6	2albii 1000	. . 3 |- (A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
8	7	anbi2i 480	. 2 |- ((Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)) <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  funsn 3543  funopg 3547  funun 3554  fununi 3563  tfrlem7 3917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain