Theorem dffo5 3812

Description: Alternate definition of an onto mapping.

Assertion

Ref	Expression
dffo5	|- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dffo5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 3811	. 2 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
2		rexex 1690	. . . . 5 |- (E.x e. A xFy -> E.x xFy)
3	2	r19.20si 1703	. . . 4 |- (A.y e. B E.x e. A xFy -> A.y e. B E.x xFy)
4	3	anim2i 335	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
5		ffn 3619	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> F Fn A)
6		fnbr 3582	. . . . . . . . . 10 |- ((F Fn A /\ xFy) -> x e. A)
7	6	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (F Fn A -> (xFy -> x e. A))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> (xFy -> x e. A))
9	8	ancrd 299	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> (xFy -> (x e. A /\ xFy)))
10	9	19.22dv 1288	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x(x e. A /\ xFy)))
11		df-rex 1647	. . . . . 6 |- (E.x e. A xFy <-> E.x(x e. A /\ xFy))
12	10, 11	syl6ibr 213	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (E.x xFy -> E.x e. A xFy))
13	12	r19.20sdv 1707	. . . 4 |- (F:A-->B -> (A.y e. B E.x xFy -> A.y e. B E.x e. A xFy))
14	13	imdistani 443	. . 3 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy) -> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy))
15	4, 14	impbi 157	. 2 |- ((F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A xFy) <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))
16	1, 15	bitr 173	1 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x xFy))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614   Fn wfn 3172  -->wf 3173  -onto->wfo 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain