Theorem dff3 3818

Description: Alternate definition of a mapping.

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dff3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff2 3817	. 2 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy))
2		ssel 2063	. . . . . . . . 9 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. (A X. B)))
3		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
4	3	opelxp 3214	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
5	4	pm3.27bi 326	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> y e. B)
6	2, 5	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
7		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy -> y e. B))
9	8	pm4.71rd 639	. . . . . 6 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy <-> (y e. B /\ xFy)))
10	9	eubidv 1386	. . . . 5 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy)))
11		df-reu 1651	. . . . 5 |- (E!y e. B xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy))
12	10, 11	syl6bbr 538	. . . 4 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y e. B xFy))
13	12	ralbidv 1663	. . 3 |- (F (_ (A X. B) -> (A.x e. A E!y xFy <-> A.x e. A E!y e. B xFy))
14	13	pm5.32i 645	. 2 |- ((F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy) <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))
15	1, 14	bitr 173	1 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  E!weu 1380  A.wral 1645  E!wreu 1647   (_ wss 2047  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  -->wf 3178

This theorem is referenced by:  exfo 3822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain