Theorem dfdm4 3305

Description: Alternate definition of domain.

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	|- dom A = ran `' A

Proof of Theorem dfdm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
2		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
3	1, 2	brcnv 3299	. . . 4 |- (y`'Ax <-> xAy)
4	3	exbii 1051	. . 3 |- (E.y y`'Ax <-> E.y xAy)
5	4	abbii 1575	. 2 |- {x | E.y y`'Ax} = {x | E.y xAy}
6		dfrn2 3303	. 2 |- ran `' A = {x | E.y y`'Ax}
7		df-dm 3188	. 2 |- dom A = {x | E.y xAy}
8	5, 6, 7	3eqtr4r 1506	1 |- dom A = ran `' A

Syntax hints:   = wceq 956  E.wex 980  {cab 1463   class class class wbr 2619  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv 3336  rncnvcnv 3337  hbdm 3352  rncoeq 3367  cnvimass 3423  dminxp 3483  dmco2 3504  cores2 3507  unidmrn 3516  cnvexg 3519  funimacnv 3571  f1ocnv 3701  fimacnv 3810  tz7.48-3 3958  pw2en 4446  sbthlem4 4450  fodomr 4483  inf3lem7 4619  zorn2lem4 4791  fodom 4798  unbenlem 7504  cnconst 7780  mapdiscn 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain