Theorem cvgcmp 7120

Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. Similar to Exercise 3 of [Gleason] p. 182, except that we show the explicit limit rather than just its existence.

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- A e. V
cvgcmp.2	|- F:NN-->RR
cvgcmp.3	|- G:NN-->RR
cvgcmp.4	|- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
cvgcmp.5	|- ( + seq1 F) ~~> A

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp	|- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Distinct variable groups:   x,A   x,F   x,G

Proof of Theorem cvgcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp.1	. 2 |- A e. V
2		cvgcmp.2	. 2 |- F:NN-->RR
3		cvgcmp.3	. 2 |- G:NN-->RR
4		0re 5412	. . . 4 |- 0 e. RR
5		letrt 5498	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ (G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
6	4, 5	mp3an1 900	. . 3 |- (((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR) -> ((0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)) -> 0 <_ (F` x)))
7	3	ffvelrni 3800	. . . 4 |- (x e. NN -> (G` x) e. RR)
8	2	ffvelrni 3800	. . . 4 |- (x e. NN -> (F` x) e. RR)
9	7, 8	jca 288	. . 3 |- (x e. NN -> ((G` x) e. RR /\ (F` x) e. RR))
10		cvgcmp.4	. . 3 |- (x e. NN -> (0 <_ (G` x) /\ (G` x) <_ (F` x)))
11	6, 9, 10	sylc 68	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (F` x))
12	10	pm3.26d 321	. 2 |- (x e. NN -> 0 <_ (G` x))
13		cvgcmp.5	. 2 |- ( + seq1 F) ~~> A
14		1nn 5882	. 2 |- 1 e. NN
15	10	pm3.27d 325	. . 3 |- (x e. NN -> (G` x) <_ (F` x))
16	15	adantr 389	. 2 |- ((x e. NN /\ 1 < x) -> (G` x) <_ (F` x))
17	1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 16	cvgcmp2 7117	1 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  ran crn 3161  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458   seq1 cseq1 6244   ~~> cli 6912

This theorem is referenced by:  cvgcmpub 7121  erelem4 7264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913

Copyright terms: Public domain