Theorem cvg1i 6857

Description: A relationship used to derive two ways to express that a sequence converges. Unlike cvg1 6858, j may be free in ph, so this can also be used for Cauchy sequences.

Hypothesis

Ref	Expression
cvg1i.1	|- Z = (ZZ>` M)

Assertion

Ref	Expression
cvg1i	|- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))

Distinct variable groups:   j,k   k,Z

Proof of Theorem cvg1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlet 5493	. . . . 5 |- ((j e. RR /\ k e. RR) -> (j < k -> j <_ k))
2		cvg1i.1	. . . . . . 7 |- Z = (ZZ>` M)
3	2	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (j e. Z <-> j e. (ZZ>` M))
4		eluzelz 6355	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. ZZ)
5		zret 6086	. . . . . . 7 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (j e. (ZZ>` M) -> j e. RR)
7	3, 6	sylbi 199	. . . . 5 |- (j e. Z -> j e. RR)
8	2	eleq2i 1530	. . . . . 6 |- (k e. Z <-> k e. (ZZ>` M))
9		eluzelz 6355	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. ZZ)
10		zret 6086	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` M) -> k e. RR)
12	8, 11	sylbi 199	. . . . 5 |- (k e. Z -> k e. RR)
13	1, 7, 12	syl2an 454	. . . 4 |- ((j e. Z /\ k e. Z) -> (j < k -> j <_ k))
14	13	imim1d 28	. . 3 |- ((j e. Z /\ k e. Z) -> ((j <_ k -> ph) -> (j < k -> ph)))
15	14	r19.20dva 1701	. 2 |- (j e. Z -> (A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> A.k e. Z (j < k -> ph)))
16	15	r19.22i 1724	1 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ph) -> E.j e. Z A.k e. Z (j < k -> ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349

This theorem is referenced by:  cvg1 6858  caucvg3 7103

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350

Copyright terms: Public domain