Theorem crulem 6666

Description: Lemma for cru 6667.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	|- A e. RR
cru.2	|- B e. RR
cru.3	|- C e. RR
cru.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
crulem	|- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> B = D)

Proof of Theorem crulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 6665	. . 3 |- -. i e. RR
2		cru.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C e. RR
3		cru.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. RR
4	3	renegcl 5388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -uA e. RR
5	2, 4	readdcl 5306	. . . . . . . . . . . . 13 |- (C + -uA) e. RR
6	5	recn 5286	. . . . . . . . . . . 12 |- (C + -uA) e. CC
7		cru.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. RR
8		cru.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. RR
9	7, 8	resubcl 5411	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B - D) e. RR
10	9	recn 5286	. . . . . . . . . . . 12 |- (B - D) e. CC
11		axicn 5242	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. CC
12	6, 10, 11	divmulz 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ((B - D) =/= 0 -> (((C + -uA) / (B - D)) = i <-> ((B - D) x. i) = (C + -uA)))
13	10, 11	mulcom 5295	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B - D) x. i) = (i x. (B - D))
14	13	eqeq1i 1474	. . . . . . . . . . 11 |- (((B - D) x. i) = (C + -uA) <-> (i x. (B - D)) = (C + -uA))
15	12, 14	syl6bb 534	. . . . . . . . . 10 |- ((B - D) =/= 0 -> (((C + -uA) / (B - D)) = i <-> (i x. (B - D)) = (C + -uA)))
16		opreq1 3953	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))))
17	3	recn 5286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A e. CC
18	7	recn 5286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. CC
19	11, 18	mulcl 5293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (i x. B) e. CC
20	4	recn 5286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -uA e. CC
21	8	recn 5286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D e. CC
22	11, 21	mulcl 5293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (i x. D) e. CC
23	22	negcl 5341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u(i x. D) e. CC
24	17, 19, 20, 23	add4 5314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((A + -uA) + ((i x. B) + -u(i x. D)))
25	17	negid 5352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A + -uA) = 0
26	25	opreq1i 3956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A + -uA) + ((i x. B) + -u(i x. D))) = (0 + ((i x. B) + -u(i x. D)))
27	19, 23	addcl 5292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((i x. B) + -u(i x. D)) e. CC
28	27	addid2 5303	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 + ((i x. B) + -u(i x. D))) = ((i x. B) + -u(i x. D))
29	24, 26, 28	3eqtr 1491	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + (i x. B)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((i x. B) + -u(i x. D))
30	2	recn 5286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C e. CC
31	30, 22, 20, 23	add4 5314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))) = ((C + -uA) + ((i x. D) + -u(i x. D)))
32	22	negid 5352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((i x. D) + -u(i x. D)) = 0
33	32	opreq2i 3957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + -uA) + ((i x. D) + -u(i x. D))) = ((C + -uA) + 0)
34	6	addid1 5302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C + -uA) + 0) = (C + -uA)
35	31, 33, 34	3eqtr 1491	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C + (i x. D)) + (-uA + -u(i x. D))) = (C + -uA)
36	16, 29, 35	3eqtr3g 1522	. . . . . . . . . . 11 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((i x. B) + -u(i x. D)) = (C + -uA))
37	11, 18, 21	subdi 5401	. . . . . . . . . . . 12 |- (i x. (B - D)) = ((i x. B) - (i x. D))
38	19, 22	negsub 5353	. . . . . . . . . . . 12 |- ((i x. B) + -u(i x. D)) = ((i x. B) - (i x. D))
39	37, 38	eqtr4 1490	. . . . . . . . . . 11 |- (i x. (B - D)) = ((i x. B) + -u(i x. D))
40	36, 39	syl5eq 1511	. . . . . . . . . 10 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (i x. (B - D)) = (C + -uA))
41	15, 40	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- ((B - D) =/= 0 -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((C + -uA) / (B - D)) = i))
42	41	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> ((C + -uA) / (B - D)) = i)
43	42	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> (((C + -uA) / (B - D)) e. RR <-> i e. RR))
44	5, 9	redivclz 5755	. . . . . . 7 |- ((B - D) =/= 0 -> ((C + -uA) / (B - D)) e. RR)
45	43, 44	syl5bi 208	. . . . . 6 |- (((B - D) =/= 0 /\ (A + (i x. B)) = (C + (i x. D))) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR))
46	45	ex 373	. . . . 5 |- ((B - D) =/= 0 -> ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR)))
47	46	pm2.43b 67	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> ((B - D) =/= 0 -> i e. RR))
48		df-ne 1579	. . . 4 |- ((B - D) =/= 0 <-> -. (B - D) = 0)
49	47, 48	syl5ibr 207	. . 3 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (-. (B - D) = 0 -> i e. RR))
50	1, 49	mt3i 113	. 2 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> (B - D) = 0)
51	18, 21	subeq0 5377	. 2 |- ((B - D) = 0 <-> B = D)
52	50, 51	sylib 198	1 |- ((A + (i x. B)) = (C + (i x. D)) -> B = D)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   / cdiv 5266

This theorem is referenced by:  cru 6667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain