Theorem crrecz 6687

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361.

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	|- A e. RR
crrecz.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
crrecz	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2))))

Proof of Theorem crrecz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
2		crrecz.2	. . . . . . . 8 |- B e. RR
3	2	renegcl 5399	. . . . . . 7 |- -uB e. RR
4	1, 3	crne0 6685	. . . . . 6 |- ((A =/= 0 \/ -uB =/= 0) <-> (A + (i x. -uB)) =/= 0)
5	2	recn 5297	. . . . . . . 8 |- B e. CC
6	5	negne0 5773	. . . . . . 7 |- (B =/= 0 <-> -uB =/= 0)
7	6	orbi2i 255	. . . . . 6 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A =/= 0 \/ -uB =/= 0))
8		axicn 5253	. . . . . . . . . 10 |- i e. CC
9	8, 5	mulneg2 5429	. . . . . . . . 9 |- (i x. -uB) = -u(i x. B)
10	9	opreq2i 3967	. . . . . . . 8 |- (A + (i x. -uB)) = (A + -u(i x. B))
11	1	recn 5297	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
12	8, 5	mulcl 5304	. . . . . . . . 9 |- (i x. B) e. CC
13	11, 12	negsub 5364	. . . . . . . 8 |- (A + -u(i x. B)) = (A - (i x. B))
14	10, 13	eqtr2 1494	. . . . . . 7 |- (A - (i x. B)) = (A + (i x. -uB))
15	14	neeq1i 1590	. . . . . 6 |- ((A - (i x. B)) =/= 0 <-> (A + (i x. -uB)) =/= 0)
16	4, 7, 15	3bitr4 183	. . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A - (i x. B)) =/= 0)
17	11, 12	subcl 5349	. . . . . 6 |- (A - (i x. B)) e. CC
18		dividt 5732	. . . . . 6 |- (((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) =/= 0) -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
19	17, 18	mpan 694	. . . . 5 |- ((A - (i x. B)) =/= 0 -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
20	16, 19	sylbi 199	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B))) = 1)
21	20	opreq2d 3971	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 / (A + (i x. B))) x. 1))
22		ax1cn 5252	. . . . . 6 |- 1 e. CC
23	11, 12	addcl 5303	. . . . . 6 |- (A + (i x. B)) e. CC
24	22, 23	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1 e. CC /\ (A + (i x. B)) e. CC)
25	17, 17	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) e. CC)
26		divmuldivt 5746	. . . . 5 |- ((((1 e. CC /\ (A + (i x. B)) e. CC) /\ ((A - (i x. B)) e. CC /\ (A - (i x. B)) e. CC)) /\ ((A + (i x. B)) =/= 0 /\ (A - (i x. B)) =/= 0)) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
27	24, 25, 26	mpanl12 707	. . . 4 |- (((A + (i x. B)) =/= 0 /\ (A - (i x. B)) =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
28	1, 2	crne0 6685	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A + (i x. B)) =/= 0)
29	27, 28, 16	sylancb 473	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. ((A - (i x. B)) / (A - (i x. B)))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
30	23	recclz 5693	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (1 / (A + (i x. B))) e. CC)
31	28, 30	sylbi 199	. . . 4 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) e. CC)
32		ax1id 5265	. . . 4 |- ((1 / (A + (i x. B))) e. CC -> ((1 / (A + (i x. B))) x. 1) = (1 / (A + (i x. B))))
33	31, 32	syl 10	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((1 / (A + (i x. B))) x. 1) = (1 / (A + (i x. B))))
34	21, 29, 33	3eqtr3rd 1514	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))))
35	17	mulid2 5316	. . 3 |- (1 x. (A - (i x. B))) = (A - (i x. B))
36	11, 12	binom2aOLD 6590	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A^2) - ((i x. B)^2))
37	11	sqcl 6560	. . . . 5 |- (A^2) e. CC
38	12	sqcl 6560	. . . . 5 |- ((i x. B)^2) e. CC
39	37, 38	negsub 5364	. . . 4 |- ((A^2) + -u((i x. B)^2)) = ((A^2) - ((i x. B)^2))
40	8, 5	sqmul 6562	. . . . . . . 8 |- ((i x. B)^2) = ((i^2) x. (B^2))
41		i2 6677	. . . . . . . . 9 |- (i^2) = -u1
42	41	opreq1i 3966	. . . . . . . 8 |- ((i^2) x. (B^2)) = (-u1 x. (B^2))
43	5	sqcl 6560	. . . . . . . . 9 |- (B^2) e. CC
44	22, 43	mulneg1 5428	. . . . . . . 8 |- (-u1 x. (B^2)) = -u(1 x. (B^2))
45	40, 42, 44	3eqtr 1497	. . . . . . 7 |- ((i x. B)^2) = -u(1 x. (B^2))
46	45	negeqi 5343	. . . . . 6 |- -u((i x. B)^2) = -u-u(1 x. (B^2))
47	22, 43	mulcl 5304	. . . . . . 7 |- (1 x. (B^2)) e. CC
48	47	negneg 5373	. . . . . 6 |- -u-u(1 x. (B^2)) = (1 x. (B^2))
49	43	mulid2 5316	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) = (B^2)
50	46, 48, 49	3eqtr 1497	. . . . 5 |- -u((i x. B)^2) = (B^2)
51	50	opreq2i 3967	. . . 4 |- ((A^2) + -u((i x. B)^2)) = ((A^2) + (B^2))
52	36, 39, 51	3eqtr2 1499	. . 3 |- ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B))) = ((A^2) + (B^2))
53	35, 52	opreq12i 3968	. 2 |- ((1 x. (A - (i x. B))) / ((A + (i x. B)) x. (A - (i x. B)))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2)))
54	34, 53	syl6eq 1521	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> (1 / (A + (i x. B))) = ((A - (i x. B)) / ((A^2) + (B^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218  ici 5219   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275  -ucneg 5276   / cdiv 5277  2c2 5918  ^cexp 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain