Theorem crne0 6670

Description: The real representation of complex numbers is nonzero iff one of its terms is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
crne0.1	|- A e. RR
crne0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
crne0	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A + (i x. B)) =/= 0)

Proof of Theorem crne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . . . 6 |- ((A + (i x. B)) = 0 -> (A + (i x. B)) = 0)
2		axicn 5242	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
3		0cn 5300	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
4	2, 3	mulcl 5293	. . . . . . . 8 |- (i x. 0) e. CC
5	4	addid2 5303	. . . . . . 7 |- (0 + (i x. 0)) = (i x. 0)
6	2	mul01 5403	. . . . . . 7 |- (i x. 0) = 0
7	5, 6	eqtr2 1488	. . . . . 6 |- 0 = (0 + (i x. 0))
8	1, 7	syl6eq 1515	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) = 0 -> (A + (i x. B)) = (0 + (i x. 0)))
9		crne0.1	. . . . . 6 |- A e. RR
10		crne0.2	. . . . . 6 |- B e. RR
11		0re 5412	. . . . . 6 |- 0 e. RR
12	9, 10, 11, 11	cru 6667	. . . . 5 |- ((A + (i x. B)) = (0 + (i x. 0)) <-> (A = 0 /\ B = 0))
13	8, 12	sylib 198	. . . 4 |- ((A + (i x. B)) = 0 -> (A = 0 /\ B = 0))
14		id 59	. . . . . 6 |- (A = 0 -> A = 0)
15		opreq2 3954	. . . . . 6 |- (B = 0 -> (i x. B) = (i x. 0))
16	14, 15	opreqan12d 3964	. . . . 5 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + (i x. 0)))
17	5, 6	eqtr 1487	. . . . 5 |- (0 + (i x. 0)) = 0
18	16, 17	syl6eq 1515	. . . 4 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = 0)
19	13, 18	impbi 157	. . 3 |- ((A + (i x. B)) = 0 <-> (A = 0 /\ B = 0))
20	19	negbii 187	. 2 |- (-. (A + (i x. B)) = 0 <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
21		df-ne 1579	. 2 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 <-> -. (A + (i x. B)) = 0)
22		neorian 1632	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
23	20, 21, 22	3bitr4r 184	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> (A + (i x. B)) =/= 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211

This theorem is referenced by:  crrecz 6672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain