Theorem creui 6744

Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130.

Assertion

Ref	Expression
creui	|- (A e. CC -> E!y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem creui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnre 5298	. . . 4 |- (A e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (i x. y)))
2		rexcom 1778	. . . 4 |- (E.x e. RR E.y e. RR A = (x + (i x. y)) <-> E.y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)))
3	1, 2	sylib 198	. . 3 |- (A e. CC -> E.y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)))
4		crut 6739	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> ((x + (i x. y)) = (z + (i x. w)) <-> (x = z /\ y = w)))
5		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = z /\ y = w) -> y = w)
6	4, 5	syl6bi 214	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> ((x + (i x. y)) = (z + (i x. w)) -> y = w))
7		eqtr2t 1496	. . . . . . . . . . 11 |- ((A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w))) -> (x + (i x. y)) = (z + (i x. w)))
8	6, 7	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. RR /\ y e. RR) /\ (z e. RR /\ w e. RR)) -> ((A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w))) -> y = w))
9	8	an4s 510	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ z e. RR) /\ (y e. RR /\ w e. RR)) -> ((A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w))) -> y = w))
10	9	expcom 374	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ w e. RR) -> ((x e. RR /\ z e. RR) -> ((A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w))) -> y = w)))
11	10	imp3a 361	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ w e. RR) -> (((x e. RR /\ z e. RR) /\ (A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w)))) -> y = w))
12		an4 508	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ (z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))) <-> ((x e. RR /\ z e. RR) /\ (A = (x + (i x. y)) /\ A = (z + (i x. w)))))
13	11, 12	syl5ib 206	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ w e. RR) -> (((x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ (z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))) -> y = w))
14	13	19.23advv 1299	. . . . 5 |- ((y e. RR /\ w e. RR) -> (E.xE.z((x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ (z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))) -> y = w))
15		df-rex 1653	. . . . . . 7 |- (E.x e. RR A = (x + (i x. y)) <-> E.x(x e. RR /\ A = (x + (i x. y))))
16		df-rex 1653	. . . . . . 7 |- (E.z e. RR A = (z + (i x. w)) <-> E.z(z e. RR /\ A = (z + (i x. w))))
17	15, 16	anbi12i 484	. . . . . 6 |- ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) <-> (E.x(x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ E.z(z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))))
18		eeanv 1325	. . . . . 6 |- (E.xE.z((x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ (z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))) <-> (E.x(x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ E.z(z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))))
19	17, 18	bitr4 176	. . . . 5 |- ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) <-> E.xE.z((x e. RR /\ A = (x + (i x. y))) /\ (z e. RR /\ A = (z + (i x. w)))))
20	14, 19	syl5ib 206	. . . 4 |- ((y e. RR /\ w e. RR) -> ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) -> y = w))
21	20	rgen2a 1702	. . 3 |- A.y e. RR A.w e. RR ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) -> y = w)
22	3, 21	jctir 293	. 2 |- (A e. CC -> (E.y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ A.y e. RR A.w e. RR ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) -> y = w)))
23		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (y = w -> (i x. y) = (i x. w))
24	23	opreq2d 3982	. . . . . 6 |- (y = w -> (x + (i x. y)) = (x + (i x. w)))
25	24	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- (y = w -> (A = (x + (i x. y)) <-> A = (x + (i x. w))))
26	25	rexbidv 1667	. . . 4 |- (y = w -> (E.x e. RR A = (x + (i x. y)) <-> E.x e. RR A = (x + (i x. w))))
27		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (x = z -> (x + (i x. w)) = (z + (i x. w)))
28	27	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- (x = z -> (A = (x + (i x. w)) <-> A = (z + (i x. w))))
29	28	cbvrexv 1804	. . . 4 |- (E.x e. RR A = (x + (i x. w)) <-> E.z e. RR A = (z + (i x. w)))
30	26, 29	syl6bb 538	. . 3 |- (y = w -> (E.x e. RR A = (x + (i x. y)) <-> E.z e. RR A = (z + (i x. w))))
31	30	reu4 1937	. 2 |- (E!y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)) <-> (E.y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ A.y e. RR A.w e. RR ((E.x e. RR A = (x + (i x. y)) /\ E.z e. RR A = (z + (i x. w))) -> y = w)))
32	22, 31	sylibr 200	1 |- (A e. CC -> E!y e. RR E.x e. RR A = (x + (i x. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  E!wreu 1650  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  imclt 6759  replimt 6762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715

Copyright terms: Public domain