Theorem counopt 9784

Description: The composition of two unitary operators is unitary.

Assertion

Ref	Expression
counopt	|- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T) e. UniOp)

Proof of Theorem counopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oco 3698	. . . . 5 |- ((S:H~-1-1-onto->H~ /\ T:H~-1-1-onto->H~) -> (S o. T):H~-1-1-onto->H~)
2		unopf1ot 9779	. . . . 5 |- (S e. UniOp -> S:H~-1-1-onto->H~)
3		unopf1ot 9779	. . . . 5 |- (T e. UniOp -> T:H~-1-1-onto->H~)
4	1, 2, 3	syl2an 454	. . . 4 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T):H~-1-1-onto->H~)
5		f1ofo 3686	. . . 4 |- ((S o. T):H~-1-1-onto->H~ -> (S o. T):H~-onto->H~)
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T):H~-onto->H~)
7		fvco3 3767	. . . . . . . . 9 |- ((Fun S /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
8	7	3expa 832	. . . . . . . 8 |- (((Fun S /\ T:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
9		f1ofun 3682	. . . . . . . . . 10 |- (S:H~-1-1-onto->H~ -> Fun S)
10	2, 9	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (S e. UniOp -> Fun S)
11		f1of 3680	. . . . . . . . . 10 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> T:H~-->H~)
12	3, 11	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (T e. UniOp -> T:H~-->H~)
13	10, 12	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (Fun S /\ T:H~-->H~))
14		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> x e. H~)
15	8, 13, 14	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
16		fvco3 3767	. . . . . . . . 9 |- ((Fun S /\ T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
17	16	3expa 832	. . . . . . . 8 |- (((Fun S /\ T:H~-->H~) /\ y e. H~) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
18		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> y e. H~)
19	17, 13, 18	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S o. T)` y) = (S` (T` y)))
20	15, 19	opreq12d 3969	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))))
21		unopt 9778	. . . . . . . . 9 |- ((S e. UniOp /\ (T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
22	21	3expb 833	. . . . . . . 8 |- ((S e. UniOp /\ ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~)) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
23		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
24		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (T` y) e. H~)
25	23, 24	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ x e. H~) /\ (T:H~-->H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
26	25	anandis 512	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
27	26, 12	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) e. H~ /\ (T` y) e. H~))
28	22, 27	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((S e. UniOp /\ (T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~))) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
29	28	anassrs 441	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((S` (T` x)) .ih (S` (T` y))) = ((T` x) .ih (T` y)))
30		unopt 9778	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
31	30	3expb 833	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
32	31	adantll 392	. . . . . 6 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` x) .ih (T` y)) = (x .ih y))
33	20, 29, 32	3eqtrd 1508	. . . . 5 |- (((S e. UniOp /\ T e. UniOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y))
34	33	ex 373	. . . 4 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
35	34	r19.21aivv 1717	. . 3 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y))
36	6, 35	jca 288	. 2 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> ((S o. T):H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
37		elunopt 9739	. 2 |- ((S o. T) e. UniOp <-> ((S o. T):H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((S o. T)` x) .ih ((S o. T)` y)) = (x .ih y)))
38	36, 37	sylibr 200	1 |- ((S e. UniOp /\ T e. UniOp) -> (S o. T) e. UniOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   o. ccom 3169  Fun wfun 3171  -->wf 3173  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   .ih csp 8732  UniOpcuo 8757

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-hvsub 8779  df-unop 9709

Copyright terms: Public domain