Theorem cosvalt 7430

Description: Value of the cosine function.

Assertion

Ref	Expression
cosvalt	|- (A e. CC -> (cos` A) = (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2))

Proof of Theorem cosvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = A -> (i x. x) = (i x. A))
2	1	fveq2d 3728	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (i x. x)) = (exp` (i x. A)))
3		opreq2 3969	. . . . 5 |- (x = A -> (-ui x. x) = (-ui x. A))
4	3	fveq2d 3728	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (-ui x. x)) = (exp` (-ui x. A)))
5	2, 4	opreq12d 3978	. . 3 |- (x = A -> ((exp` (i x. x)) + (exp` (-ui x. x))) = ((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))))
6	5	opreq1d 3975	. 2 |- (x = A -> (((exp` (i x. x)) + (exp` (-ui x. x))) / 2) = (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2))
7		df-cos 7301	. 2 |- cos = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (((exp` (i x. x)) + (exp` (-ui x. x))) / 2))}
8		oprex 3983	. 2 |- (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2) e. V
9	6, 7, 8	fvopab4 3780	1 |- (A e. CC -> (cos` A) = (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293   / cdiv 5294  2c2 5961  expce 7293  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  cosclt 7432  recosvalt 7434  cosnegt 7443  efivalt 7447  cosadd 7452  cosco 8668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain