Theorem cos1bnd 7424

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	|- ((1 / 3) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 6576	. . . . . . . 8 |- (1^2) = 1
2	1	opreq1i 3962	. . . . . . 7 |- ((1^2) / 3) = (1 / 3)
3	2	opreq2i 3963	. . . . . 6 |- (2 x. ((1^2) / 3)) = (2 x. (1 / 3))
4		2cn 5935	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5		3nn 5955	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
6	5	nncn 5888	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
7	5	nnne0 5907	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
8	4, 6, 7	divrec 5708	. . . . . 6 |- (2 / 3) = (2 x. (1 / 3))
9	3, 8	eqtr4 1495	. . . . 5 |- (2 x. ((1^2) / 3)) = (2 / 3)
10	9	opreq2i 3963	. . . 4 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) = (1 - (2 / 3))
11		ax1cn 5249	. . . . 5 |- 1 e. CC
12	4, 6, 7	divcl 5687	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
13	6, 7	reccl 5690	. . . . 5 |- (1 / 3) e. CC
14		df-3 5926	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
15	14	opreq1i 3962	. . . . . 6 |- (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
16	6, 7	divid 5734	. . . . . 6 |- (3 / 3) = 1
17	4, 11, 6, 7	divdir 5718	. . . . . 6 |- ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
18	15, 16, 17	3eqtr3r 1501	. . . . 5 |- ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
19	11, 12, 13, 18	subaddri 5352	. . . 4 |- (1 - (2 / 3)) = (1 / 3)
20	10, 19	eqtr 1492	. . 3 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) = (1 / 3)
21		1re 5415	. . . . 5 |- 1 e. RR
22		lt01 5661	. . . . 5 |- 0 < 1
23	21	leid 5592	. . . . 5 |- 1 <_ 1
24		0re 5420	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
25		elioc2t 6330	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1)))
26	24, 21, 25	mp2an 696	. . . . . 6 |- (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1))
27		cos01bnd 7423	. . . . . 6 |- (1 e. (0(,]1) -> ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))))
28	26, 27	sylbir 201	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1) -> ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))))
29	21, 22, 23, 28	mp3an 914	. . . 4 |- ((1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3)))
30	29	pm3.26i 320	. . 3 |- (1 - (2 x. ((1^2) / 3))) < (cos` 1)
31	20, 30	eqbrtrr 2631	. 2 |- (1 / 3) < (cos` 1)
32	29	pm3.27i 324	. . 3 |- (cos` 1) < (1 - ((1^2) / 3))
33	2	opreq2i 3963	. . . 4 |- (1 - ((1^2) / 3)) = (1 - (1 / 3))
34	11, 13, 12	subadd2 5353	. . . . 5 |- ((1 - (1 / 3)) = (2 / 3) <-> ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
35	18, 34	mpbir 190	. . . 4 |- (1 - (1 / 3)) = (2 / 3)
36	33, 35	eqtr 1492	. . 3 |- (1 - ((1^2) / 3)) = (2 / 3)
37	32, 36	breqtr 2633	. 2 |- (cos` 1) < (2 / 3)
38	31, 37	pm3.2i 285	1 |- ((1 / 3) < (cos` 1) /\ (cos` 1) < (2 / 3))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  3c3 5917  (,]cioc 6303  ^cexp 6508  cosccos 7246

This theorem is referenced by:  cos2bnd 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-5 5928  df-6 5929  df-7 5930  df-8 5931  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioc 6307  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-cos 7251

Copyright terms: Public domain