Theorem cofunex2g 3567

Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
cofunex2g	|- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Proof of Theorem cofunex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofunexg 3566	. . . 4 |- ((Fun `'B /\ `'A e. V) -> (`'B o. `'A) e. V)
2		cnvexg 3505	. . . 4 |- (A e. C -> `'A e. V)
3	1, 2	sylan2 451	. . 3 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (`'B o. `'A) e. V)
4		cnvexg 3505	. . . 4 |- ((`'B o. `'A) e. V -> `'(`'B o. `'A) e. V)
5		cnvco 3289	. . . . 5 |- `'(`'B o. `'A) = (`'`'A o. `'`'B)
6		cocnvcnv2 3492	. . . . 5 |- (`'`'A o. `'`'B) = (`'`'A o. B)
7		cocnvcnv1 3491	. . . . 5 |- (`'`'A o. B) = (A o. B)
8	5, 6, 7	3eqtrr 1492	. . . 4 |- (A o. B) = `'(`'B o. `'A)
9	4, 8	syl5eqel 1544	. . 3 |- ((`'B o. `'A) e. V -> (A o. B) e. V)
10	3, 9	syl 10	. 2 |- ((Fun `'B /\ A e. C) -> (A o. B) e. V)
11	10	ancoms 436	1 |- ((A e. C /\ Fun `'B) -> (A o. B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802  `'ccnv 3159   o. ccom 3164  Fun wfun 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182

Copyright terms: Public domain