Theorem co02 3494

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
co02	|- (A o. (/)) = (/)

Proof of Theorem co02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 3470	. 2 |- Rel (A o. (/))
2		rel0 3262	. 2 |- Rel (/)
3		noel 2274	. . . . . . 7 |- -. <.x, z>. e. (/)
4		df-br 2610	. . . . . . 7 |- (x(/)z <-> <.x, z>. e. (/))
5	3, 4	mtbir 192	. . . . . 6 |- -. x(/)z
6	5	intnanr 690	. . . . 5 |- -. (x(/)z /\ zAy)
7	6	nex 1097	. . . 4 |- -. E.z(x(/)z /\ zAy)
8		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
9		visset 1804	. . . . 5 |- y e. V
10	8, 9	opelco 3277	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> E.z(x(/)z /\ zAy))
11	7, 10	mtbir 192	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (A o. (/))
12		noel 2274	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (/)
13	11, 12	2false 717	. 2 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> <.x, y>. e. (/))
14	1, 2, 13	eqrelriv 3241	1 |- (A o. (/)) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  (/)c0 2270  <.cop 2401   class class class wbr 2609   o. ccom 3164

This theorem is referenced by:  co01 3495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-co 3177

Copyright terms: Public domain