Theorem cnvunopt 9972

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72.

Assertion

Ref	Expression
cnvunopt	|- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Proof of Theorem cnvunopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1ot 9970	. . . 4 |- (T e. UniOp -> T:H~-1-1-onto->H~)
2		f1ocnv 3640	. . . . 5 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-1-1-onto->H~)
3		f1ofo 3634	. . . . 5 |- (`'T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-onto->H~)
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (T:H~-1-1-onto->H~ -> `'T:H~-onto->H~)
5	1, 4	syl 10	. . 3 |- (T e. UniOp -> `'T:H~-onto->H~)
6		unopt 9969	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (`'T` x) e. H~ /\ (`'T` y) e. H~) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
7		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> T e. UniOp)
8		ffvelrn 3753	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (`'T` x) e. H~)
9		fof 3611	. . . . . . . . . 10 |- (`'T:H~-onto->H~ -> `'T:H~-->H~)
10	5, 9	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (T e. UniOp -> `'T:H~-->H~)
11	8, 10	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ x e. H~) -> (`'T` x) e. H~)
12	11	adantrr 395	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (`'T` x) e. H~)
13		ffvelrn 3753	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (`'T` y) e. H~)
14	13, 10	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ y e. H~) -> (`'T` y) e. H~)
15	14	adantrl 394	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (`'T` y) e. H~)
16	6, 7, 12, 15	syl3anc 855	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
17		f1ocnvfv2 3818	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ x e. H~) -> (T` (`'T` x)) = x)
18	17	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` (`'T` x)) = x)
19		f1ocnvfv2 3818	. . . . . . . . 9 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ y e. H~) -> (T` (`'T` y)) = y)
20	19	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` (`'T` y)) = y)
21	18, 20	opreq12d 3917	. . . . . . 7 |- ((T:H~-1-1-onto->H~ /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
22	21, 1	sylan 448	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
23	16, 22	eqtr3d 1485	. . . . 5 |- ((T e. UniOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
24	23	ex 373	. . . 4 |- (T e. UniOp -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
25	24	r19.21aivv 1696	. . 3 |- (T e. UniOp -> A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
26	5, 25	jca 288	. 2 |- (T e. UniOp -> (`'T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
27		elunopt 9930	. 2 |- (`'T e. UniOp <-> (`'T:H~-onto->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
28	26, 27	sylibr 200	1 |- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  A.wral 1621  `'ccnv 3132  -->wf 3141  -onto->wfo 3143  -1-1-onto->wf1o 3144  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  H~chil 8968   .ih csp 8973  UniOpcuo 8998

This theorem is referenced by:  unoplint 9974  unopadj2t 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549  ax-hilex 9017  ax-hfvadd 9018  ax-hvcom 9019  ax-hvass 9020  ax-hv0cl 9021  ax-hvaddid 9022  ax-hfvmul 9023  ax-hvmulid 9024  ax-hvdistr2 9027  ax-hvmul0 9028  ax-hfi 9095  ax-his1 9098  ax-his2 9099  ax-his3 9100  ax-his4 9101

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-hvsub 9033  df-unop 9900

Copyright terms: Public domain