Theorem cnvunop 11271

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72.

Assertion

Ref	Expression
cnvunop	|- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Proof of Theorem cnvunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 11269	. . . 4 |- (T e. UniOp -> T:~H-1-1-onto->~H)
2		f1ocnv 4462	. . . . 5 |- (T:~H-1-1-onto->~H -> `'T:~H-1-1-onto->~H)
3		f1ofo 4454	. . . . 5 |- (`'T:~H-1-1-onto->~H -> `'T:~H-onto->~H)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (T:~H-1-1-onto->~H -> `'T:~H-onto->~H)
5	1, 4	syl 12	. . 3 |- (T e. UniOp -> `'T:~H-onto->~H)
6		unop 11268	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (`'T` x) e. ~H /\ (`'T` y) e. ~H) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
7		pm3.26 344	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> T e. UniOp)
8		ffvelrn 4598	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:~H-->~H /\ x e. ~H) -> (`'T` x) e. ~H)
9		fof 4428	. . . . . . . . . 10 |- (`'T:~H-onto->~H -> `'T:~H-->~H)
10	5, 9	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (T e. UniOp -> `'T:~H-->~H)
11	8, 10	sylan 495	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ x e. ~H) -> (`'T` x) e. ~H)
12	11	adantrr 429	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (`'T` x) e. ~H)
13		ffvelrn 4598	. . . . . . . . 9 |- ((`'T:~H-->~H /\ y e. ~H) -> (`'T` y) e. ~H)
14	13, 10	sylan 495	. . . . . . . 8 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (`'T` y) e. ~H)
15	14	adantrl 428	. . . . . . 7 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (`'T` y) e. ~H)
16	6, 7, 12, 15	syl3anc 975	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = ((`'T` x) .ih (`'T` y)))
17		f1ocnvfv2 4666	. . . . . . . . 9 |- ((T:~H-1-1-onto->~H /\ x e. ~H) -> (T` (`'T` x)) = x)
18	17	adantrr 429	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-1-1-onto->~H /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (T` (`'T` x)) = x)
19		f1ocnvfv2 4666	. . . . . . . . 9 |- ((T:~H-1-1-onto->~H /\ y e. ~H) -> (T` (`'T` y)) = y)
20	19	adantrl 428	. . . . . . . 8 |- ((T:~H-1-1-onto->~H /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> (T` (`'T` y)) = y)
21	18, 20	opreq12d 4711	. . . . . . 7 |- ((T:~H-1-1-onto->~H /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
22	21, 1	sylan 495	. . . . . 6 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((T` (`'T` x)) .ih (T` (`'T` y))) = (x .ih y))
23	16, 22	eqtr3d 1764	. . . . 5 |- ((T e. UniOp /\ (x e. ~H /\ y e. ~H)) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
24	23	ex 400	. . . 4 |- (T e. UniOp -> ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
25	24	r19.21aivv 2017	. . 3 |- (T e. UniOp -> A.x e. ~H A.y e. ~H ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y))
26	5, 25	jca 308	. 2 |- (T e. UniOp -> (`'T:~H-onto->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
27		elunop 11228	. 2 |- (`'T e. UniOp <-> (`'T:~H-onto->~H /\ A.x e. ~H A.y e. ~H ((`'T` x) .ih (`'T` y)) = (x .ih y)))
28	26, 27	sylibr 216	1 |- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  A.wral 1939  `'ccnv 3796  -->wf 3805  -onto->wfo 3807  -1-1-onto->wf1o 3808  ` cfv 3809  (class class class)co 4695  ~Hchil 10212   .ih csp 10217  UniOpcuo 10242

This theorem is referenced by:  unoplin 11273  unopadj2 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540  ax-hilex 10293  ax-hfvadd 10294  ax-hvcom 10295  ax-hvass 10296  ax-hv0cl 10297  ax-hvaddid 10298  ax-hfvmul 10299  ax-hvmulid 10300  ax-hvdistr2 10303  ax-hvmul0 10304  ax-hfi 10371  ax-his1 10374  ax-his2 10375  ax-his3 10376  ax-his4 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688  df-re 7796  df-im 7797  df-cj 7798  df-hvsub 10264  df-unop 11198

Copyright terms: Public domain