Theorem cnvun 3455

Description: The converse of a union is the union of converses. Theorem 16 of [Suppes] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
cnvun	|- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Proof of Theorem cnvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3435	. 2 |- Rel `'(A u. B)
2		relun 3261	. . 3 |- (Rel (`'A u. `'B) <-> (Rel `'A /\ Rel `'B))
3		relcnv 3435	. . 3 |- Rel `'A
4		relcnv 3435	. . 3 |- Rel `'B
5	2, 3, 4	mpbir2an 730	. 2 |- Rel (`'A u. `'B)
6		elun 2173	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
7		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
8		visset 1813	. . . . . 6 |- y e. V
9	7, 8	opelcnv 3298	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'A <-> <.y, x>. e. A)
10	7, 8	opelcnv 3298	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'B <-> <.y, x>. e. B)
11	9, 10	orbi12i 257	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
12	6, 11	bitr4 176	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
13	7, 8	opelcnv 3298	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.y, x>. e. (A u. B))
14		elun 2173	. . 3 |- (<.x, y>. e. (`'A u. `'B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
15	12, 13, 14	3bitr4 183	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.x, y>. e. (`'A u. `'B))
16	1, 5, 15	eqrelriv 3251	1 |- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045  <.cop 2411  `'ccnv 3169  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  rnun 3457  f1oun 3706  sbthlem8 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186

Copyright terms: Public domain