Theorem cnvresid 3561

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	|- `'(I |` A) = (I |` A)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 3439	. . . 4 |- `'I = I
2	1	eqcomi 1476	. . 3 |- I = `'I
3		funi 3537	. . . 4 |- Fun I
4		funeq 3527	. . . 4 |- (I = `'I -> (Fun I <-> Fun `'I))
5	3, 4	mpbii 193	. . 3 |- (I = `'I -> Fun `'I)
6	2, 5	ax-mp 7	. 2 |- Fun `'I
7		funcnvres 3560	. . 3 |- (Fun `'I -> `'(I |` A) = (`'I |` (I"A)))
8		reseq1 3360	. . . . 5 |- (`'I = I -> (`'I |` (I"A)) = (I |` (I"A)))
9		imai 3409	. . . . . 6 |- (I"A) = A
10		reseq2 3361	. . . . . 6 |- ((I"A) = A -> (I |` (I"A)) = (I |` A))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` (I"A)) = (I |` A)
12	8, 11	syl6eq 1520	. . . 4 |- (`'I = I -> (`'I |` (I"A)) = (I |` A))
13	1, 12	ax-mp 7	. . 3 |- (`'I |` (I"A)) = (I |` A)
14	7, 13	syl6eq 1520	. 2 |- (Fun `'I -> `'(I |` A) = (I |` A))
15	6, 14	ax-mp 7	1 |- `'(I |` A) = (I |` A)

Syntax hints:   = wceq 954  Icid 2826  `'ccnv 3164   |` cres 3167  "cima 3168  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  idhme 10445  hmphre 10453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187

Copyright terms: Public domain