Theorem cnvopab 3451

Description: The converse of a class abstraction of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
cnvopab	|- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem cnvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 3441	. 2 |- Rel `'{<.x, y>. | ph}
2		relopab 3272	. 2 |- Rel {<.y, x>. | ph}
3		visset 1816	. . . 4 |- w e. V
4		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
5	3, 4	opelcnv 3304	. . 3 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
6		ax-17 973	. . . . . 6 |- (y e. <.z, w>. -> A.x y e. <.z, w>.)
7		hbopab1 2819	. . . . . 6 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
8	6, 7	hbel 1569	. . . . 5 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
9		ax-17 973	. . . . . 6 |- (y e. <.w, z>. -> A.x y e. <.w, z>.)
10		hbopab2 2820	. . . . . 6 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.x z e. {<.y, x>. | ph})
11	9, 10	hbel 1569	. . . . 5 |- (<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.x<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
12	8, 11	hbbi 1012	. . . 4 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.x(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
13		opeq1 2491	. . . . . 6 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
14	13	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (x = z -> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
15		opeq2 2492	. . . . . 6 |- (x = z -> <.w, x>. = <.w, z>.)
16	15	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (x = z -> (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
17	14, 16	bibi12d 631	. . . 4 |- (x = z -> ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})))
18		ax-17 973	. . . . . . 7 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
19		hbopab2 2820	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
20	18, 19	hbel 1569	. . . . . 6 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.y<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph})
21		ax-17 973	. . . . . . 7 |- (z e. <.w, x>. -> A.y z e. <.w, x>.)
22		hbopab1 2819	. . . . . . 7 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.y z e. {<.y, x>. | ph})
23	21, 22	hbel 1569	. . . . . 6 |- (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.y<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
24	20, 23	hbbi 1012	. . . . 5 |- ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.y(<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
25		opeq2 2492	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.x, y>. = <.x, w>.)
26	25	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
27		opeq1 2491	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.y, x>. = <.w, x>.)
28	27	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
29	26, 28	bibi12d 631	. . . . 5 |- (y = w -> ((<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})))
30		opabid 2816	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
31		opabid 2816	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> ph)
32	30, 31	bitr4 176	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph})
33	24, 29, 32	chvar 1169	. . . 4 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
34	12, 17, 33	chvar 1169	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
35	5, 34	bitr 173	. 2 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
36	1, 2, 35	eqrelriv 3257	1 |- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  {copab 2671  `'ccnv 3175

This theorem is referenced by:  en2d 4406  cnvadj 9811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192

Copyright terms: Public domain